Дробные рациональные уравнения 9. Дробно-рациональные уравнения

05.12.2023

РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели урока: Обучающая:

формирование понятия дробно- рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений. обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы. Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов. Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

8.
Как называются выражения из которых составлены 5,6, 7 и 8 уравнения? (дробно-рациональными)Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока)А сейчас мы повторим основной теоретический материл , который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

Линейное

Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель

Квадратное.

о формулам, используя теорему Виета и ее следствия

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

3. Объяснение нового материала. Итак , на нашем уроке вы не просто ученики 9 класса, а представители одного из трех племен. Как вы думаете, почему я их так назвала? (правильно, потому что при решении уравнений вы будете пользоваться определенными правилами. Что же это за правила? Попробуйте мне их сформулировать:

Равенство двух отношений

Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов

Карточка 1:

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

на одно и то же отличное от нуля число.

Племя «Знаменатель» решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске. / *4х ОДЗ : х≠0 х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х
х²-6х=0 2х³-12х²=0
х=0 или х=6 2х²(х-6)=0
Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6 Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0 Ответ: х=6 Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы: Сравниваем ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? (До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.)

В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-8 – выражения с переменной

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство

Сделать проверку

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения. Возникает вопрос : что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку? (исключить посторонние корни) ------ дописываем на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня , т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данными способами. Рассмотрим первый способ: равенство дроби нулю. Дети сами формулируют алгоритм 1. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть. Привести дроби к общему знаменателю. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решить уравнение. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни. Записать ответ. Как оформить решение, если используется основное свойство пропорции?Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. 1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. 2. Решить полученное целое уравнение. 3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 4. Записать ответ.Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?3. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

Назовите у каждого уравнения ОДЗ. Мы с вами рассмотрели три способа решения дробных рациональных уравнений. (Работа в группах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доскеа) Ответ: х =1, х =б) Ответ: а=3,5в) Ответ: х = -3, х =2г) -5 – посторонний корень. Ответ: х = 5;5. Подведение итогов урока. Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Но, независимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Постановка домашнего задания.

Класс 9.

Тема урока: «Дробные рациональные уравнения»

Тип урока: комбинированный.

Цели:

1. Образовательные: дать определение «дробно-рациональные уравнения», показать способы решения таких уравнений.

2. Развивающие: развитие умений и навыков решать примеры с данным типом уравнений, находить корни дробно-рациональных уравнений.

3. Воспитывающие: воспитывать внимание, внимательность, активность, аккуратность; уважительное отношение к матери.

Задачи: заинтересовать учеников предметом, показать важность умения решать разные уравнения и задачи.

Материально- техническое оснащение:

Мультимедиа проектор, экран, презентация к уроку «Дробные рациональные уравнения»

Время: 45 минут

План урока.

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика
I . Организационный момент. (1 мин.)	Приветствует учащихся, проверка их готовность к уроку.	Приветствуют учителя.
II . Сообщение темы и целей урока. (2 мин)	Сообщает тему и цель урока.	Записывают тему в тетрадь.
III . Повторение пройденной темы. (2 мин)	Задает вопросы на повторение пройденной темы.	Отвечают на вопросы.
IV . Изучение нового материала. (15 мин.)	Демонстрирует слайды, сопровождает рассказом. Слушает, задает целенаправленные вопросы в роли рядового участника	Обсуждают предмет с учителем и получают при необходимости информацию, устанавливают цели, планируют траекторию работы. Вырабатывают план действий, формируют задачи. Выполняют поиск информации, сбор данных и фактов истории, первично исследуют полученную информацию, решают промежуточные задачи.
V . Физкультминутка. (1 мин.)	Выполняет физкультминутку	Выполняют физкультминутку
VI . Закрепление материала. (20 мин.)	Решение задач, предлагает вопросы на закрепление.	Решают задачи в тетрадях, у доски, задают вопросы учителю.
VIII . Подведение итогов урока.(4мин)	Оценивает работу учащихся.	Говорят о том, чему научились на уроке. Убирают рабочие места.

ХОД УРОКА

I. Рефлексия начала урока (музыка; презентация о матери).

Проверка готовности к уроку.

II. Сообщение новой темы, цели и задачи :

Учитель: Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, друг на друга и от всей души улыбнитесь.

Сегодняшний урок я бы хотела начать со слов М. Горького:

Слайд 1
Без солнца не цветут цветы,

без любви нет счастья,

без женщин нет любви,

без матери нет ни поэта, ни героя.

Вся гордость мира – от матерей.
(М. Горький)

Учитель:

– Что может быть на свете священнее имени матери! …

Человек, еще не сделавший ни одного шага по земле и только – только начинающий «лопотать», неуверенно и старательно складывает по слогам «мама» и, почувствовав свою удачу, смеется, счастливый …

Когда ребенок вскрикнет первый раз

И мать его коснется осторожно,

Ее любовь… О, как она тревожна.

Тревожна каждый день и час.

Ребята, скоро День Матери, поэтому сегодняшний урок я хочу связать с этой темой. Мы с вами на прошлых уроках научились решать, находить корни различных уравнений, сегодня мы продолжим знакомиться с одним из видов уравнений – это дробные рациональные уравнения, выясним важность уравнений, и вспомним, как решать задачи с помощью уравнений. Постараемся не подвести свою маму, решать будем внимательно и не отвлекаясь, готовиться к ГИА. Мать каждого из вас хочет, чтобы её ребёнок был самым лучшим. Итак, сегодня у нас урок изучения новой темы (слайд 2).

III. Повторение пройденной темы.

1. Проверка домашнего задания (слайд 3).

№925(а, б), №935(а, б), №936.

2. Устно повторяем (слайд 3 ,4,5,6 ).

Повторим:

Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

IV . Изучение нового материала. (слайд 7).

Учитель: Уравнение y (x ) =0 называют дробным рациональным уравнением, если выражение y (x ) является дробным (т.е. содержит деление на выражение с переменными).

Для решения рационального уравнения его необходимо преобразовать в линейное или квадратное уравнение, решить это уравнение и отбросить те корни, которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений) исходного рационального уравнения.

Откройте учебник на стр.78 и прочитаем правило. С этой темой вы уже работали в 8 классе.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений: ( слайд 8).

(приложение 1)

Учитель: А теперь вместе со мной давайте решим дробно-рациональное уравнение по алгоритму (слайд 9).

VI . Самостоятельная работа (слайд 10).

… Твое письмо. Твои родные строки.

Последний материнский твой наказ:

«Законы жизни мудры и жестоки.

Живи. Трудись. Не порть слезами глаз.

Моя любовь с тобой всегда. Навеки.

Ты жизнь люби. Она ведь хороша.

Людей люби. И помни – в человеке

что главное? Высокая душа».

Давайте и мы с вами постараемся, чтобы у нас была «высокая душа». А для этого надо уважать и любить родителей, конечно, стараться учиться и хорошо сдать гос. экзамены. Займёмся подготовкой к аттестации.

Самостоятельная работа. Самоконтроль – 4 варианта. Проверка вашей честности. Работа выполняется в тетрадях. В ходе выполнения работы учащиеся определяют для себя алгоритм решения дробных рациональных уравнений. На каждой парте – таблица – напоминание «Алгоритм решения дробных рациональных уравнений». Приложение 1.

В а р и а н т 1.

В а р и а н т 2.

В а р и а н т 3.

В а р и а н т 4.

О т в е т ы:

I вариант:
,
(
;
).

II вариант:
(
;
)

III вариант:
(

)

IV вариант:
,
(
;
).

VII . Физкультминутка (слайд 11).

Учитель: А теперь разминка.

Повернитесь ко мне. Я проговариваю предложения. Если оно справедливо – вы встаёте, если нет – то остаётесь сидеть.

1) 5х = 7 имеет единственный корень.

2) 0х = 0 не имеет корней.
3) Если Д 0, то квадратное уравнение имеет два корня.
4) Если Д
5) Количество корней не больше степени уравнения.

VIII . Закрепление и повторение материала. (слайд 12).

Учитель. Мужчины перед своими любимыми хотят выглядеть только мужественными, только сильными, только несгибаемыми. Возможно, это и делает их мужчинами. И только перед родной матерью не боятся они обнажить свои слабости и неудачи, признаться в ошибках и потерях, потому что, как бы далеко они не ушли в своем возрасте и развитии, перед нею они и седые – все равно дети. А уж она понимает сердцем, что бедному да обиженному, прежде всего, всех нужнее – мать. Сегодня у всех будут хорошие оценки, поэтому обиженных, я думаю, не будет.

Решаем задачу № 942 из учебника. (Алгебра – 9 класс/ Ю.Н. Макарычев) (слайд 13).


1-я автомашина	x -20 км/ч	ч
2-я автомашина	x км/ч	ч

Решить пример на доске. (слайд 14).

№289(а)

VII . Подведение итогов урока .

Что нового вы узнали на уроке?

Чему вы научились на уроке?

2. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Учитель оценивает работу учащихся и выставляет оценки.

Учитель. Приобретая черты символа и выполняя огромную общественную миссию, мать никогда не теряла привычные человеческие черты, оставаясь радушной хозяйкой и умной собеседницей, старательной работницей и прирожденной песенницей, широкой в застолье и мужественной в горе, открытой в радости и сдержанной в печали, и всегда доброй, понимающей и женственной! Я очень хочу, чтобы мечты ваших родителей осуществились, пусть вы будете достойными людьми (слайд 15).

VIII . Домашнее задание . №943, №940(а, б), №290 (слайд 16).

Приложение 1.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.

Новоселицкая МОУ СОШ №1

« Решение дробных рациональных уравнений».

Открытый урок в 9 А классе

Учитель математики Демиденко Н.Ю.

С. Новоселицкое 2015год.

Тема урока : Решение дробных рациональных уравнений .(Слайд 1)

Цели и задачи урока:

Образовательные:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;

повторить решение линейных уравнений;

повторить решение квадратичных уравнений.

Развивающие:

развитие памяти обучающихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности;

развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;

развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel , содержащий тестовые задания, презентация.

Проверка домашнего задания

ОТВЕТЬ НА ВОПРОСЫ (Слайд 2)

сколько модулей в тесте ОГЭ? Какие это модули?

Сколько баллов нужно набрать для успешного прохождения экзамена?

Сформулируйте тему нашего урока.

«Решение уравнений» (Слайд 3)

продолжи предложение:

уравнением называется….

корнем уравнения называется…

Устный счет (Слайд 4)

1) х+3=0;

2) 3(х-7)=0 ;

3) х(х-1)(х+3)(х-9)=0;

4) х³-9х=0;

5) 7х²=0;

6) х²-5=0;

7) -7х²=28.

ПОВТОРИМ (Слайд 5)

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? (х 3 – 1) 2 + х 5 – х 6 = 2

4. Как называется данное уравнение?

5. Как найти степень целого уравнения? (х 3 – 3) 2 + 5х 2 = 0

ПРОДОЛЖИТЬ ФРАЗУ (Слайд 6)

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если……

Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или один корень) , если……

Квадратное уравнение не имеет корней, если……

Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

УКАЖИТЕ ОДЗ УРАВНЕНИЙ (Слайд 7)

а) 2(1-х²) +3х -4 =0;

б) х - 3 = х² - х +1 ;

4 2

в) х² - х - 7 = х +8;

г) 2х - 4 = 3__;

х² +1 х +1

д) 3х + 1 = х;

х -1

Запомни алгоритмы решения уравнений! (Слайд 8)

Уравнение y ( x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y ( x ) является дробным

(т.е. содержит деление на выражение с переменными). (Слайд 9)

Алгоритмы решения дробных рациональных уравнений! (Слайд 10)

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

Пример №1: (Слайд 11,12)

(Слайд 13) Пример № 2: Ким Вариант № 6, задание № 21

(х-2)(х 2 +8х+16) = 7(х+4)

(Слайд 14) ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

(Слайд 15-19) Самостоятельная тестовая работа

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

1) ;

3) .

(3)

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(Слайд 20) Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами).

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно – «5»;

одна ошибка – «4»;

сделано две ошибки - «3»;

выполнено менее 3-х заданий – «2».

(Слайд 21) Домашнее задание

Тесты

Вариант 20-30 № 4 (уравнения)

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

(Слайд 22) Самостоятельная работа

« Решение дробных рациональных уравнений».

Открытый урок в 9 А классе

Учитель математики Демиденко Н.Ю.

С. Новоселицкое 2015год.

Тема урока: Решение дробных рациональных уравнений .(Слайд 1)

Цели и задачи урока:

Образовательные:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;
продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;
повторить решение линейных уравнений;
повторить решение квадратичных уравнений.

Развивающие:

развитие памяти обучающихся;
развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;
развитие любознательности;
развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;
развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;
содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;
воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel, содержащий тестовые задания, презентация.

Проверка домашнего задания

ОТВЕТЬ НА ВОПРОСЫ (Слайд 2)

сколько модулей в тесте ОГЭ? Какие это модули?
- сколько баллов нужно набрать для успешного прохождения экзамена?
- сформулируйте тему нашего урока.

«Решение уравнений» (Слайд 3)

продолжи предложение:

уравнением называется….
корнем уравнения называется…

Устный счет (Слайд 4)

3) х(х-1)(х+3)(х-9)=0;

ПОВТОРИМ (Слайд 5)

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? (х 3 - 1) 2 + х 5 - х 6 = 2

4. Как называется данное уравнение?

5. Как найти степень целого уравнения? (х 3 - 3) 2 + 5х 2 = 0

ПРОДОЛЖИТЬ ФРАЗУ (Слайд 6)

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если……
Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или один корень) , если……
Квадратное уравнение не имеет корней, если……
Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

УКАЖИТЕ ОДЗ УРАВНЕНИЙ (Слайд 7)

а) 2(1-х²) +3х -4 =0;

б) х - 3 = х² - х +1 ;

в) х² - х - 7 = х +8;

г) 2х - 4 = 3__;

д) 3х + 1 = х;

Запомни алгоритмы решения уравнений! (Слайд 8)

Уравнение y (x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y (x ) является дробным

(т.е. содержит деление на выражение с переменными). (Слайд 9)

Алгоритмы решения дробных рациональных уравнений! (Слайд 10)

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

Пример №1: (Слайд 11,12)

(Слайд 13) Пример № 2: Ким Вариант № 6, задание № 21

(х-2)(х 2 +8х+16) = 7(х+4)

(Слайд 14) ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

(Слайд 15-19) Самостоятельная тестовая работа

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(-2)

3.Сколько корней имеет уравнение

1) 1 корень;

2) не имеет корней;

3) 2 корня.

(не имеет корней )

4. Найти корни уравнения

1) х=-?;

2) х=? или х=-3;

3) х=-? или х=3.

(x =- )

5.Укажите общий знаменатель:

1) х-3;

2) х(х-3);

3) (5х-7)(4х-3).

(х (х-3 ))

(Слайд 20)Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами).

все сделано правильно - «5»;

одна ошибка - «4»;